1.3Folgen und Reihen

Besondere Folgen und Reihen

Standardgrenzwerte verbinden Folgen und Reihen mit e, π und Potenzreihen.

Leitformel
e=∑n=0∞1n!e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}
ee=∑n=0∞1n!=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}
Lernziel

Wichtige Folgen und Reihen wiedererkennen und ihre Grenzwerte als Werkzeuge nutzen.

Lernpfad

Lernbausteine

0 von 5 erledigt

Jeder Baustein enthält eine Erklärung und eine Kurzfrage. Beispiele und Labore machen die Regeln sichtbar. Richtig beantwortet, wird der Baustein automatisch abgehakt.

Tipp: Arbeite die Bausteine der Reihe nach durch.

Auf einen Blick

  • e=lim⁡n→∞(1+1n)n=∑k=0∞1k!≈2,71828e = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1 + \frac1n\right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \approx 2{,}71828
  • n!=1⋅2⋯nn! = 1 \cdot 2 \cdots n,  0!=1\ 0! = 1
  • (1+xn)n→ex\left(1 + \frac xn\right)^n \to e^x,  nn→1\ \sqrt[n]{n} \to 1,  xn→0\ x^n \to 0 für ∣x∣<1|x| < 1
  • Leibniz: ∑k=0∞(−1)k2k+1=π4\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac\pi4
  • Potenzreihe ∑akxk\sum a_k x^k – ihre Partialsummen sind Polynome.

Interaktiv

Freies Experimentieren

Ein Wettlauf zweier Näherungen für e sowie die Leibniz-Reihe für π.