Mathematik · Aufbau · Folgen, Funktionen, Differential- und Integralrechnung

Analysis

Von Folgen und Grenzwerten über Ableitungen und Integrale bis zu Differentialgleichungen – ein zusammenhängender Lernweg in 5 Bereichen und 18 Einheiten.

Folgen und Reihen

Unendliche Prozesse präzise beschreiben und erkennen, wann sie sich einem Wert annähern.

an⟶aa_n \longrightarrow a
  1. 1.1Folgen: Konvergenz und MonotonieVom einzelnen Folgenglied bis zum Grenzwert einer unendlichen Folge.Interaktiv0/10
  2. 1.2Reihen: Definition und KonvergenzPartialsummen machen sichtbar, was beim unendlichen Addieren geschieht.Interaktiv0/6
  3. 1.3Besondere Folgen und ReihenStandardgrenzwerte verbinden Folgen und Reihen mit e, π und Potenzreihen.Interaktiv0/5

Funktionen

Abhängigkeiten als mathematische Maschinen lesen, kombinieren und umkehren.

f ⁣:x↦f(x)f\colon x\mapsto f(x)
  1. 2.1Funktionen und ihre EigenschaftenDie gemeinsame Sprache für Zuordnungen, Graphen und Umkehrbarkeit.Interaktiv0/7
  2. 2.2Exponential- und LogarithmusfunktionenWachstum und seine Umkehrung in einer gemeinsamen Darstellung verstehen.Interaktiv0/5
  3. 2.3Trigonometrische FunktionenKreisbewegung, Winkel und periodische Graphen als dieselbe Idee sehen.Interaktiv0/6

Differentialrechnung

Lokale Veränderung messen und daraus das Verhalten ganzer Funktionen lesen.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
  1. 3.1Erste Ableitung und PotenzregelWie aus einer Sekante im Grenzprozess eine Tangente wird.Interaktiv0/4
  2. 3.2Ableitungsregeln und höhere AbleitungenKomplexe Funktionen systematisch zerlegen und mehrfach ableiten.Interaktiv0/5
  3. 3.3Taylorreihe und TaylorpolynomGlatte Funktionen lokal durch immer bessere Polynome annähern.Interaktiv0/3
  4. 3.4KurvendiskussionAus algebraischen und differentialen Spuren das Gesamtbild eines Graphen rekonstruieren.Interaktiv0/7
  5. 3.5Ausblick: partielle AbleitungenVeränderung in mehreren Richtungen getrennt untersuchen.Interaktiv0/3

Integralrechnung

Lokale Beiträge aufsummieren und Fläche, Volumen sowie Länge berechnen.

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm dx
  1. 4.1Unbestimmtes Integral und IntegrationsregelnAbleitungen rückwärts lesen und ganze Familien von Stammfunktionen finden.Interaktiv0/7
  2. 4.2Bestimmtes Integral und HauptsatzFlächenbilanz und Stammfunktion werden durch den Hauptsatz verbunden.Interaktiv0/5
  3. 4.3Rotationskörper, Mantelfläche und BogenlängeAus ebenen Kurven entstehen Volumen, Oberflächen und messbare Wege.Interaktiv0/4

Differentialgleichungen

Nicht den Zustand, sondern sein Änderungsgesetz vorgeben und daraus Entwicklungen ableiten.

y′=f(x,y)y'=f(x,y)
  1. 5.1Einführung und GrundbegriffeGleichungen verstehen, deren gesuchte Größe selbst eine Funktion ist.Interaktiv0/3
  2. 5.2Lineare homogene DGL erster OrdnungAus einer lokalen Änderungsregel eine ganze Lösungsschar gewinnen.Interaktiv0/5
  3. 5.3Lineare inhomogene DGL erster OrdnungÄußere Einflüsse ergänzen die Eigendynamik eines Systems.Interaktiv0/3
  4. 5.4Ausblick: partielle DifferentialgleichungenVeränderungsgesetze in Raum und Zeit zugleich formulieren.Interaktiv0/2