1.2Folgen und Reihen

Reihen: Definition und Konvergenz

Partialsummen machen sichtbar, was beim unendlichen Addieren geschieht.

Leitformel
sn=∑k=1naks_n=\sum_{k=1}^{n}a_k
sns_n=∑k=1nak=\sum_{k=1}^{n}a_k
Lernziel

Reihen über ihre Partialsummen verstehen und zentrale Konvergenzfälle unterscheiden.

Lernpfad

Lernbausteine

0 von 6 erledigt

Jeder Baustein enthält eine Erklärung und eine Kurzfrage. Beispiele und Labore machen die Regeln sichtbar. Richtig beantwortet, wird der Baustein automatisch abgehakt.

Tipp: Arbeite die Bausteine der Reihe nach durch.

Auf einen Blick

  • Reihe = Folge der Partialsummen sn=∑k=1naks_n = \sum_{k=1}^{n} a_k.
  • Wert einer unendlichen Reihe: lim⁡n→∞sn\lim_{n\to\infty} s_n – falls er existiert.
  • Konvergent ⇒ Glieder bilden eine Nullfolge (die Umkehrung gilt nicht!).
  • Harmonische Reihe ∑1k\sum \frac1k divergiert.
  • Arithmetisch: sn=n2(a1+an)s_n = \frac n2 (a_1 + a_n)
  • Geometrisch: sn=a1qn−1q−1s_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}; für ∣q∣<1|q| < 1: ∑=a11−q\sum = \frac{a_1}{1 - q}

Interaktiv

Freies Experimentieren

Das Summenstudio baut Partialsummen Schritt für Schritt auf und zeigt, ob eine Reihe konvergiert.