1.1Folgen und Reihen

Folgen: Konvergenz und Monotonie

Vom einzelnen Folgenglied bis zum Grenzwert einer unendlichen Folge.

Leitformel
lim⁡n→∞an=a\lim_{n\to\infty} a_n=a
lim⁡n→∞an\lim_{n\to\infty} a_n=a=a
Lernziel

Folgen darstellen, ihr Verhalten untersuchen und Konvergenz mathematisch einordnen.

Lernpfad

Lernbausteine

0 von 10 erledigt

Jeder Baustein enthält eine Erklärung und eine Kurzfrage. Beispiele und Labore machen die Regeln sichtbar. Richtig beantwortet, wird der Baustein automatisch abgehakt.

Tipp: Arbeite die Bausteine der Reihe nach durch.

Auf einen Blick

  • Folge: n↦ann \mapsto a_n – explizit oder rekursiv angegeben.
  • Monotonie: an+1≥ana_{n+1} \ge a_n (wachsend) bzw. an+1≤ana_{n+1} \le a_n (fallend).
  • Beschränkt: s≤an≤Ss \le a_n \le S für alle nn.
  • Grenzwert aa: Zu jedem ε>0\varepsilon > 0 gibt es ein NN mit ∣an−a∣<ε|a_n - a| < \varepsilon für alle n≥Nn \ge N.
  • Konvergent ⇒ beschränkt, und beschränkt + monoton ⇒ konvergent.
  • Arithmetisch: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d · Geometrisch: an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

Interaktiv

Freies Experimentieren

Wähle eine Folge, blende ε-Umgebung und Schranken ein und beobachte Monotonie und Grenzwert.