1.1Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundmodell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ergebnisse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten – vom Würfelwurf bis zum Urnenmodell.

Leitformel
P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}
P(A)P(A)=∣A∣∣Ω∣= \frac{|A|}{|\Omega|}
Lernziel

Zufallsexperimente als Wahrscheinlichkeitsraum modellieren, mit Ereignissen rechnen und Laplace-Wahrscheinlichkeiten kombinatorisch bestimmen.

Lernpfad

Lernbausteine

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Jeder Baustein enthält eine Erklärung und eine Kurzfrage. Beispiele und Labore machen die Regeln sichtbar. Richtig beantwortet, wird der Baustein automatisch abgehakt.

Tipp: Arbeite die Bausteine der Reihe nach durch.

Auf einen Blick

  • Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal F, P): Ergebnisse, Ereignisse, Wahrscheinlichkeitsmaß.
  • Mengenoperationen: ∪\cup „oder“, ∩\cap „und“, ∖\setminus „ohne“, A‾\overline{A} „nicht“; De Morgan: A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B.
  • Kolmogorow: P≥0P \ge 0, P(Ω)=1P(\Omega) = 1, σ-Additivität für disjunkte Ereignisse.
  • Rechenregeln: P(A‾)=1−P(A)P(\overline A) = 1 - P(A), P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
  • Laplace: P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}; Urnenmodelle nkn^k, n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}, (nk)\binom nk, (n+k−1k)\binom{n+k-1}{k}.
  • Kontinuierliche Gleichverteilung: P([c,d])=d−cb−aP([c, d]) = \frac{d - c}{b - a}; einzelne Punkte haben Wahrscheinlichkeit 0.

Interaktiv

Freies Experimentieren

Ein Venn-Diagramm-Labor: Ereignisse kombinieren und ihre Wahrscheinlichkeiten aus den vier Teilflächen ablesen. Urnenmodell und Häufigkeitssimulation stecken in den Lernbausteinen.