Mathematik · Aufbau · Wahrscheinlichkeit und deskriptive Statistik

Statistik

Von Ereignissen und bedingten Wahrscheinlichkeiten über Zufallsvariablen, Verteilungen und Kennzahlen bis zu den großen Grenzwertsätzen – ein zusammenhängender Lernweg in 5 Bereichen und 21 Einheiten.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsexperimente mathematisch fassen: Ereignisse, Rechenregeln, Unabhängigkeit und das Lernen aus neuen Informationen.

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  1. 1.1Grundmodell der WahrscheinlichkeitsrechnungErgebnisse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten – vom Würfelwurf bis zum Urnenmodell.Interaktiv0/17
  2. 1.2Unabhängige EreignisseWann das Eintreten eines Ereignisses nichts über ein anderes verrät.Interaktiv0/3
  3. 1.3Bedingte WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten neu bewerten, sobald eine Zusatzinformation bekannt ist.Interaktiv0/4
  4. 1.4Bayessche StatistikAus Beobachtungen auf Ursachen zurückschließen – der Satz von Bayes.Interaktiv0/6

Zufallsvariablen

Zufallsergebnisse in Zahlen übersetzen und ihre Verteilungen beschreiben – diskret wie kontinuierlich.

FX(x)=P(X≤x)F_X(x) = P(X \le x)
  1. 2.1ZufallsvariablenEine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet.Interaktiv0/3
  2. 2.2Verteilungsfunktionen und WahrscheinlichkeitsfunktionenWie sich die Wahrscheinlichkeit auf die möglichen Werte verteilt – als Balken, Dichte und Treppe.Interaktiv0/5
  3. 2.3Wichtige diskrete VerteilungenStandardmodelle für Zählvorgänge: Treffer, Wartezeiten und seltene Ereignisse.Interaktiv0/6
  4. 2.4Wichtige kontinuierliche VerteilungenMessgrößen, Lebensdauern und Wartezeiten mit Dichten modellieren.Interaktiv0/5

Gemeinsame Verteilungen

Mehrere Zufallsgrößen zugleich betrachten: gemeinsame, Rand- und bedingte Verteilungen.

fX,Y(x,y)f_{X,Y}(x, y)
  1. 3.1Gemeinsame VerteilungenZufallsvektoren und ihre multivariaten Verteilungen – diskret und kontinuierlich.Interaktiv0/8
  2. 3.2RandverteilungenAus der gemeinsamen Verteilung die Verteilung einer einzelnen Komponente gewinnen.Interaktiv0/3
  3. 3.3Unabhängige ZufallsvariablenWenn die gemeinsame Verteilung in das Produkt ihrer Ränder zerfällt.Interaktiv0/5
  4. 3.4Bedingte VerteilungenDie Verteilung einer Größe, wenn der Wert einer anderen bereits bekannt ist.Interaktiv0/3

Erwartungswert und Varianz

Lage, Streuung und Form einer Verteilung in wenigen Zahlen zusammenfassen.

Var⁡(X)=E[(X−μ)2]\operatorname{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr]
  1. 4.1Erwartungswert und bedingter ErwartungswertDer langfristige Durchschnitt einer Zufallsvariable – und wie man ihn berechnet.Interaktiv0/7
  2. 4.2Varianz und KovarianzWie stark eine Größe streut – und wie zwei Größen gemeinsam schwanken.Interaktiv0/8
  3. 4.3Erwartungswerte und Varianzen wichtiger VerteilungenDie Kennzahlen der Standardverteilungen – hergeleitet statt auswendig gelernt.Interaktiv0/6
  4. 4.4Algebraische und zentrale MomenteSchiefe und Wölbung beschreiben die Form einer Verteilung über Lage und Streuung hinaus.Interaktiv0/5
  5. 4.5Momenterzeugende FunktionenEine einzige Funktion, die alle Momente einer Verteilung enthält.Interaktiv0/6

Ungleichungen und Grenzwertsätze

Wahrscheinlichkeiten abschätzen und verstehen, warum Mittelwerte stabil werden und die Normalverteilung überall auftaucht.

Xˉn⟶μ\bar X_n \longrightarrow \mu
  1. 5.1WahrscheinlichkeitsungleichungenObere Schranken für extreme Werte – auch ohne die Verteilung genau zu kennen.Interaktiv0/4
  2. 5.2Ungleichungen und ErwartungswerteKonvexität, Jensen und Cauchy-Schwarz – was sich über Erwartungswerte immer sagen lässt.Interaktiv0/3
  3. 5.3Das Gesetz der großen ZahlenWarum sich relative Häufigkeiten auf lange Sicht stabilisieren.Interaktiv0/5
  4. 5.4Zentraler GrenzwertsatzSummen vieler unabhängiger Zufallsgrößen sind annähernd normalverteilt – fast egal, wie die Summanden verteilt sind.Interaktiv0/5