Mathematik · Grundlagen · Aussagen, Mengen, Relationen, Abbildungen und Beweise

Grundlagen

Von Aussagen und Quantoren über Mengen, Relationen und Abbildungen bis zu den Beweisprinzipien – die Sprache, in der alle anderen Kurse geschrieben sind – ein zusammenhängender Lernweg in 5 Bereichen und 15 Einheiten.

Aussagen

Die Sprache der Mathematik: Aussagen, Aussageformen, Quantoren und die logischen Verknüpfungen, aus denen jeder Beweis gebaut ist.

A⇒BA \Rightarrow B
  1. 1.1AussagenSätze, die entweder wahr oder falsch sind – der kleinste Baustein mathematischen Argumentierens.Interaktiv0/2
  2. 1.2AussageformenSätze mit Platzhaltern: Erst wenn man einsetzt, entscheidet sich, ob sie wahr oder falsch sind.Interaktiv0/2
  3. 1.3All- und Existenzquantor„Für alle“ und „es gibt“ – zwei kleine Symbole, die aus Aussageformen Aussagen machen.Interaktiv0/3
  4. 1.4Verknüpfung von AussagenUnd, oder, nicht, wenn … dann, genau dann: wie aus einfachen Aussagen zusammengesetzte werden.Interaktiv0/7

Mengen

Mengen sind die Behälter der Mathematik: Man vergleicht sie, verknüpft sie und zählt ihre Elemente.

A∩BA \cap B
  1. 2.1Mengen und TeilmengenWas eine Menge ist, wie man sie aufschreibt und wann eine in der anderen steckt.Interaktiv0/5
  2. 2.2MengenoperationenVereinigen, schneiden, abziehen, ergänzen und Paare bilden – mit Regeln, die an die Logik aus Lektion 1 erinnern.Interaktiv0/6
  3. 2.3Mächtigkeit und PotenzmengeElemente zählen, ohne doppelt zu zählen – und die Menge aller Teilmengen.Interaktiv0/3

Relationen

Beziehungen zwischen Elementen: Ordnungen, die vergleichen, und Äquivalenzen, die sortieren.

x∼yx \sim y
  1. 3.1OrdnungsrelationenWas „kleiner gleich“ allgemein bedeutet – und warum nicht jede Menge ein größtes Element hat.Interaktiv0/8
  2. 3.2ÄquivalenzrelationenDinge als „gleich“ ansehen, die sich nur in Unwichtigem unterscheiden – und die Menge dabei in Klassen zerlegen.Interaktiv0/6

Abbildungen

Zuordnungen zwischen Mengen: Bilder, Urbilder, Verkettungen – und wann sich eine Zuordnung umkehren lässt.

f:X→Yf: X \to Y
  1. 4.1Abbildungen, Bild und UrbildJedem Element genau ein Bild: der präzise Begriff hinter „Funktion“.Interaktiv0/6
  2. 4.2Injektiv, surjektiv, bijektivTrifft eine Abbildung jedes Ziel, und nie eines doppelt? Genau dann lässt sie sich umkehren.Interaktiv0/4

Beweisprinzipien

Vier Wege, eine Behauptung lückenlos zu begründen: direkt, per Kontraposition, durch Widerspruch und durch vollständige Induktion.

∀n∈N: A(n)\forall n \in \mathbb N:\ A(n)
  1. 5.1Der direkte BeweisVon der Voraussetzung Schritt für Schritt zur Behauptung.Interaktiv0/2
  2. 5.2Beweis durch KontrapositionStatt „aus A folgt B“ zeigt man „aus nicht B folgt nicht A“ – oft der leichtere Weg.Interaktiv0/2
  3. 5.3Beweis durch WiderspruchMan nimmt das Gegenteil an und zeigt, dass daraus Unsinn folgt.Interaktiv0/2
  4. 5.4Vollständige Induktion über ℕUnendlich viele Aussagen mit zwei Schritten beweisen – wie eine Reihe fallender Dominosteine.Interaktiv0/4