1.4Grundlagen

Matrizen als kompakte Repräsentation linearer Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem als eine einzige Matrixgleichung – und ein Verfahren, das jedes System systematisch löst.

Leitformel
Ax=b⟺(A∣b)A\mathbf x = \mathbf b \quad \Longleftrightarrow \quad (A \mid \mathbf b)
Ax=bA\mathbf x = \mathbf b⟺(A∣b)\Longleftrightarrow (A \mid \mathbf b)
Lernziel

Gleichungssysteme als erweiterte Matrix schreiben, mit dem Gauß-Algorithmus auf Stufenform bringen und die Lösungsmenge ablesen.

Lernpfad

Lernbausteine

0 von 7 erledigt

Jeder Baustein enthält eine Erklärung und eine Kurzfrage. Beispiele und Labore machen die Regeln sichtbar. Richtig beantwortet, wird der Baustein automatisch abgehakt.

Tipp: Arbeite die Bausteine der Reihe nach durch.

Auf einen Blick

  • Matrixform: Ax=bA\mathbf x = \mathbf b; erweiterte Matrix (A∣b)(A \mid \mathbf b).
  • Homogen (b=0\mathbf b = \mathbf 0): immer lösbar, triviale Lösung x=0\mathbf x = \mathbf 0.
  • Elementare Zeilenoperationen (tauschen, mit c≠0c \neq 0 multiplizieren, Vielfaches addieren) ändern die Lösungsmenge nicht.
  • Gauß: Spalte für Spalte unter dem Pivot eliminieren bis zur Stufenform, dann rückwärts einsetzen.
  • Zeile (0⋯0∣c≠0)(0 \cdots 0 \mid c \neq 0): keine Lösung; nn Pivots: eine Lösung; weniger Pivots: freie Variablen, unendlich viele Lösungen.

Interaktiv

Freies Experimentieren

Gauß-Labor: Zeilenoperationen per Klick auf die erweiterte Matrix anwenden, bis die Stufenform erreicht ist – und die Lösung ablesen.