Mathematik · Aufbau · Matrizen, Vektorräume, Abbildungen und Zerlegungen
Lineare Algebra
Von linearen Gleichungssystemen und Matrizen über Vektorräume und lineare Abbildungen bis zu Eigenwerten und der Singulärwertzerlegung – ein zusammenhängender Lernweg in 5 Bereichen und 21 Einheiten.
Grundlagen
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen: die Sprache, in der die ganze lineare Algebra geschrieben ist – vom Rechnen mit Matrizen bis zum Gauß-Algorithmus und zur Inversen.
- 1.1Lineare GleichungssystemeMehrere lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten – und die Frage, ob und wie viele Lösungen es gibt.
- 1.2Grundbegriffe zu MatrizenZahlen in Zeilen und Spalten – und die wichtigsten Sonderformen, die immer wieder auftauchen.
- 1.3Matrix-AlgebraMit Matrizen rechnen wie mit Zahlen – fast: Die Multiplikation hat ihre eigenen Regeln.
- 1.4Matrizen als kompakte Repräsentation linearer GleichungssystemeEin Gleichungssystem als eine einzige Matrixgleichung – und ein Verfahren, das jedes System systematisch löst.
- 1.5Inverse und SpurDie Matrix, die eine andere rückgängig macht – und eine überraschend nützliche Kennzahl.
Vektorräume
Was Pfeile, Matrizen und Polynome gemeinsam haben: Man kann sie addieren und strecken. Daraus entstehen Basis, Dimension und Rang.
- 2.1Definition des VektorraumsAcht Axiome, die festlegen, was „mit Vektoren rechnen“ bedeutet – weit über Pfeile hinaus.
- 2.2Linearkombination und lineare AbhängigkeitWelche Vektoren sich aus anderen zusammensetzen lassen – und welche wirklich eine neue Richtung beitragen.
- 2.3Basis, lineare Hülle und RangDas kleinste Werkzeugset, aus dem sich ein ganzer Vektorraum bauen lässt – und was es über Gleichungssysteme verrät.
Lineare und affine Abbildungen
Matrizen als Bewegungen: Drehen, Spiegeln, Strecken und Verschieben – und was dabei verloren geht oder erhalten bleibt.
- 3.1Matrix-Repräsentation linearer AbbildungenJede lineare Abbildung ist eine Matrix – und ihre Spalten verraten, was mit den Einheitsvektoren passiert.
- 3.2Bild und KernWas eine Abbildung erreichen kann – und was sie auf null schickt.
- 3.3Affine Räume und UnterräumeGeraden und Ebenen, die nicht durch den Ursprung gehen: verschobene Unterräume.
- 3.4Affine AbbildungenLineare Abbildung plus Verschiebung – die Grundoperation jeder Grafiksoftware.
Analytische Geometrie
Längen, Winkel und Projektionen mit Vektoren berechnen – bis zur Methode der kleinsten Quadrate und einem Ausblick auf die komplexen Zahlen.
- 4.1NormWie lang ist ein Vektor? Es gibt mehr als eine vernünftige Antwort.
- 4.2SkalarproduktEine Zahl aus zwei Vektoren, die Längen und Winkel gleichzeitig enthält.
- 4.3Orthogonale ProjektionenWinkel, Senkrechte und der Schatten eines Vektors – bis zur besten Näherung für widersprüchliche Messdaten.
- 4.4Ausblick: komplexe ZahlenZahlen als Punkte in der Ebene, bei denen Multiplizieren Drehen und Strecken bedeutet.
Matrix-Zerlegung
Matrizen in einfache Bausteine zerlegen: Determinante und Eigenwerte als Werkzeuge, Cholesky-, Eigenwert- und Singulärwertzerlegung als Ergebnis.
- 5.1DeterminanteEine einzige Zahl, die verrät, ob eine Matrix invertierbar ist – und um welchen Faktor sie Flächen verändert.
- 5.2Eigenwerte und EigenvektorenRichtungen, die eine Matrix nicht dreht, sondern nur streckt.
- 5.3Cholesky-ZerlegungEine Matrix als Produkt von Dreiecksmatrizen – schnell zu lösen und ein Test auf positive Definitheit.
- 5.4Eigenwertzerlegung und DiagonalisierungIn der richtigen Basis wird jede diagonalisierbare Matrix zur einfachen Streckung entlang der Achsen.
- 5.5SingulärwertzerlegungJede Matrix – auch rechteckige – ist Drehung, Streckung und wieder Drehung.