1.5Grundlagen

Inverse und Spur

Die Matrix, die eine andere rückgängig macht – und eine überraschend nützliche Kennzahl.

Leitformel
A A−1=A−1A=EnA\,A^{-1} = A^{-1}A = E_n
A A−1A\,A^{-1}=A−1A=En= A^{-1}A = E_n
Lernziel

Invertierbarkeit prüfen, Inverse mit dem Gauß-Algorithmus bestimmen, Gleichungssysteme damit lösen und die Spur berechnen.

Lernpfad

Lernbausteine

0 von 7 erledigt

Jeder Baustein enthält eine Erklärung und eine Kurzfrage. Beispiele und Labore machen die Regeln sichtbar. Richtig beantwortet, wird der Baustein automatisch abgehakt.

Tipp: Arbeite die Bausteine der Reihe nach durch.

Auf einen Blick

  • Inverse: AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1}A = E; regulär (invertierbar) oder singulär.
  • Orthogonal: A−1=ATA^{-1} = A^{\mathsf T}; selbstinvers: A−1=AA^{-1} = A.
  • 2×22 \times 2: invertierbar genau für ad−bc≠0ad - bc \neq 0, A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}; Diagonal- und Dreiecksmatrizen: alle Diagonaleinträge ≠0\neq 0.
  • (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, (AT)−1=(A−1)T(A^{\mathsf T})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf T}; berechnen mit (A∣E)→(E∣A−1)(A \mid E) \to (E \mid A^{-1}).
  • Ax=b⇒x=A−1bA\mathbf x = \mathbf b \Rightarrow \mathbf x = A^{-1}\mathbf b; Spur = Summe der Diagonale, Spur⁡(AB)=Spur⁡(BA)\operatorname{Spur}(AB) = \operatorname{Spur}(BA).

Interaktiv

Freies Experimentieren

Eine 2×2-Matrix verformt das Einheitsquadrat, die Inverse macht es rückgängig. Wird die Determinante null, klappt das Quadrat zu einer Strecke zusammen.