1.3Grundlagen

Matrix-Algebra

Mit Matrizen rechnen wie mit Zahlen – fast: Die Multiplikation hat ihre eigenen Regeln.

Leitformel
(AB)ik=∑j=1naij bjk(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,b_{jk}
(AB)ik(AB)_{ik}=∑j=1naij bjk= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,b_{jk}
Lernziel

Matrizen addieren und multiplizieren, Skalar- und dyadisches Produkt bilden und die Rechenregeln – insbesondere die fehlende Kommutativität – anwenden.

Lernpfad

Lernbausteine

0 von 8 erledigt

Jeder Baustein enthält eine Erklärung und eine Kurzfrage. Beispiele und Labore machen die Regeln sichtbar. Richtig beantwortet, wird der Baustein automatisch abgehakt.

Tipp: Arbeite die Bausteine der Reihe nach durch.

Auf einen Blick

  • Addition und Skalarmultiplikation: eintragsweise; Addition nur bei gleichem Typ.
  • Skalarprodukt: aTb=∑aibi\mathbf a^{\mathsf T}\mathbf b = \sum a_ib_i (eine Zahl); dyadisches Produkt: abT\mathbf a\mathbf b^{\mathsf T} (eine Matrix).
  • Matrixprodukt: (m×n)(n×p)=m×p(m \times n)(n \times p) = m \times p, cikc_{ik} = Zeile ii mal Spalte kk.
  • Assoziativ und distributiv, EE ist neutral, (AB)T=BTAT(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T} – aber nicht kommutativ.
  • Potenzen: A0=EA^0 = E, AkAl=Ak+lA^kA^l = A^{k+l}; (A+B)2=A2+AB+BA+B2(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2.

Interaktiv

Freies Experimentieren

Matrixmultiplikation Schritt für Schritt: Zeile mal Spalte hervorheben und zusehen, wie jeder Eintrag des Produkts entsteht.